\subsubsection{Introducci\'on}
El problema original se modifica definiendo que entre pieza y pieza haya un tiempo en el que no trabajar\'a el joyero, agregando así a cada pieza un parámetro ri que representa la cantidad de días de descanso. Este tiempo no impacta en la p\'erdida  de la pieza en construcci\'on, ya que la misma se entrega ni bien termina de fabricarla, pero si impacta en las siguientes ya que son más días de perdida por no construir las joyas siguientes.


\subsubsection{Como se modifica el ejercicio anterior}

Sabiendo que el joyero quiere realizar un descanso entre la construcción de cada joya se debe modificar la fórmula de perdida de la secuencia para tener en cuenta esos días de descanso en la realización de las siguientes joyas, dando como resultado a la siguiente formula :\\
$\sum\limits$$_{l=1}^n t_{l}$ $*d_{l}$ + ($t_{l}+r_{l}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m}$\\

Siendo la perdida para cada joya l, ($t_{l}+r_{l}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m}$ la suma de las próximas piezas a construir multiplicado por el tiempo que lleva construir la joya l sumado a los días de descanso que se toma por la joya l, a esto debe de sumar el costo de la fabricación de la pieza l, $t_{l}$ $*d_{l}$ el primer termino en mi formula.
Por lo tanto la suma de las perdidas en la construcción de las joyas en ese orden es la presentada anteriormente.
 
De manera muy similar al ejercicio original se demuestra que la relación de orden en la que se define la secuencia es la siguiente $d_{k_{S}}$ / ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$) $\ge$ $d_{k+1_{S}}$ /($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$), siendo k $\in$ N, 0 $\le$ k $<$ n, siendo n la cantidad de joyas

Por lo tanto la modificación al algoritmo reside en definir para que se tenga en cuenta el nuevo formato de joyas tomando el nuevo parámetro para cada joya y luego modificar el merge sort para que respete la nueva la relación de orden que utiliza para ordenar la secuencia de joyas.

\subsubsection{Demostraci\'on}
Para demostrar que el algoritmo es correcto debemos realizar los mismos pasos que en la demostración del ejercicio original, pero como la fórmula de perdida de una secuencia cambia se debe realizar en base a la nueva fórmula, definiendo así como en la demostración original la función f(s) = $\sum\limits$$_{l=1}^n t_{l}$ $*d_{l}$ + ($t_{l}+r_{l}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m}$, que dada una secuencia de joyas devuelve un numero natural que representa la pérdida total.
La demostración parte de la misma manera que en la demostración original, tenemos una secuencia $\mathcal{S}$ optima que posee 2 elementos consecutivos k y k+1 que no cumplen la relación de orden, o sea $d_{k_{S}}$ / ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$) $\le$ $d_{k+1_{S}}$ /($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$), y tomemos la secuencia $\mathcal{S}$$_1$ que resulta de ordenar esos elementos, entonces comparamos la perdida total suponiendo que la secuencia ordenada no es optima, f($\mathcal{S}$$_1$) $\ge$ f($\mathcal{S}$$_1$).

Siguiendo los mismos pasos que en la demostración anterior llegamos a que la relacion $d_{k_{S}}$ / ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$) $\ge$ $d_{k+1_{S}}$ /($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$), llegando asi a un absurdo en el caso de la comparacion por mayor estricta y que por lo tanto la secuencia ordenada es optima o bien los elementos son iguales y es otra secuencia optima posible.
En el caso de que la secuencia este ordenada implica que la secuencia es optima no difiere la demostracion.




%Demostremosolo de la misma forma que el caso anterior, supongamos que tenemos una secuencia optima pero que los elementos (k y k+1) no respetan el orden.
%Sea  $\mathcal{S}$ la secuencia optima y tal que tiene dos items desordenados y $\mathcal{S}$$_1$ una secuencia que resulta de ordenar los 2 items


%$\sum\limits$$_{l=1}^n t_{l_{S_1}}$ $*d_{l_{S_1}}$ + ($t_{l_{S_1}} + r_{l_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S_1}}$ $\le$
%$\sum\limits$$_{l=1}^n t_{l}_{S}$ $*d_{l_{S}}$ + ($t_{l_{S}}+r_{l_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S}}$\\

%Esto es lo mismo que\\
%\begin{center}
%$\sum\limits$$_{l=1}^{k-1} t_{l_{S_1}}$ $*d_{l_{S_1}}$ + ($t_{l_{S_1}} + r_{l_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S_1}}$ + $t_{k_{S_1}}$ $*d_{k_{S_1}}$ + ($t_{k_{S_1}} + r_{k_{S_1}}$)*%$\sum\limits$$_{m=k+1}^n d_{m_{S_1}}$  + $t_{k+1_{S_1}}$ $*d_{k+1_{S_1}}$ + ($t_{k+1_{S_1}} + r_{k+1_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$  + $\sum\limits$$_{l=1}^{k+2} t_{l_{S_1}}$ $*d_{l_{S_1}}$ + ($t_{l_{S_1}} + r_{l_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S_1}}$\\
%$\le$\\
%$\sum\limits$$_{l=1}^{k-1} t_{l}_{S}$ $*d_{l_{S}}$ + ($t_{l_{S}}+r_{l_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S}}$ + $ t_{k}_{S}$ $*d_{k_{S}}$ + ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+1}^n d_{m_{S}}$ + $ t_{k+1}_{S}$ $*d_{k+1_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}}+r_{k+1_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$ + $\sum\limits$$_{l=1}^{k+2} t_{l}_{S}$ $*d_{l_{S}}$ + ($t_{l_{S}}+r_{l_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S}}$   \\
%\end{center}
%Como la unica diferencia entre las secuencias es el orden entre k y k+1 las otras sumatorias son iguales:\\
%$\sum\limits$$_{l=1}^{k-1} t_{l_{S_1}}$ $*d_{l_{S_1}}$ + ($t_{l_{S_1}} + r_{l_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S_1}}$  = $\sum\limits$$_{l=1}^{k-1} t_{l}_{S}$ $*d_{l_{S}}$ + ($t_{l_%{S}}+r_{l_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S}}$\\
%$\sum\limits$$_{l=1}^{k+2} t_{l_{S_1}}$ $*d_{l_{S_1}}$ + ($t_{l_{S_1}} + r_{l_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S_1}}$ = $\sum\limits$$_{l=1}^{k+2} t_{l}_{S}$ $*d_{l_{S}}$ + ($t_{l_{S}}+r_{l_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=l+1}^n d_{m_{S}}$\\
%
%Cancelo los terminos que son iguales y me queda de la siguiente manera la desigualdad:\\
%
%\begin{center}
%$%t_{k_{S_1}}$ $*d_{k_{S_1}}$ + ($t_{k_{S_1}} + r_{k_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+1}^n d_{m_{S_1}}$  + $t_{k+1_{S_1}}$ $*d_{k+1_{S_1}}$ + ($t_{k+1_{S_1}} + r_{k+1_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$  \\
%$\le$\\
% $ t_{k}_{S}$ $*d_{k_{S}}$ + ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+1}^n d_{m_{S}}$ + $ t_{k+1}_{S}$ $*d_{k+1_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}}+r_{k+1_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$   \\
%\end{center}

%Expando las sumatorias para separar los terminos correspondientes a las joyas k y k+1\\


%\begin{center}
%$t_{k_{S_1}}$ $*d_{k_{S_1}}$ + ($t_{k_{S_1}} + r_{k_{S_1}}$)*$d_{k+1_{S_1}}$ + ($t_{k_{S_1}} + r_{k_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$ + $t_{k+1_{S_1}}$ $*d_{k+1_{S_1}}$ + ($t_%{k+1_{S_1}} + r_{k+1_{S_1}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$  \\
%$\le$\\
% $ t_{k}_{S}$ $*d_{k_{S}}$ + ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$d_{k+1_{S}}$ +($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$ + $ t_{k+1}_{S}$ $*d_{k+1_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}}+r_{k+1_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$   \\
%\end{center}



%Ademas por hipotesis sabemos que los elementos k y k+1 estan intercambiados en las secuencias\\
%\begin{center}
%$ t_{k}_{S}$ = $t_{k+1_{S_1}}$  y $ t_{k+1_S}$ = $t_{k_{S_1}}$ \\
%$d_{k+1_{S_1}}$ = $d_{k_{S}}$ y $d_{k_{S_1}}$ = $d_{k+1_{S}}$\\
%$r_{k+1_{S}}$ = $r_{k_{S_1}}$ y $r_{k_{S}}$ = $r_{k+1_{S_1}}$\\
%$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$ = $\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$ 

%\end{center}
%Reemplazando esto en la inecuacion nos queda\\

%\begin{center}
%$t_{k+1_{S}}$ $*d_{k+1_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$)*$d_{k_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$ + $t_{k_{S}}$ $*d_{k_{S}}$ + ($t_{k_{S}} + r_%{k_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S_1}}$  \\
%$\le$\\
% $ t_{k}_{S}$ $*d_{k_{S}}$ + ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$d_{k+1_{S}}$ +($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$ + $ t_{k+1}_{S}$ $*d_{k+1_{S}}$ + ($t_{k+1_{S}}+r_{k+1_{S}}$)*$\sum\limits$$_{m=k+2}^n d_{m_{S}}$   \\
%\end{center}
%
%Cancelamos los terminos que podemos cancelar de ambos lados de la inecuacion\\
%\begin{center}
%($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$)*$d_{k_{S}}$ \\
%$\le$\\
% ($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)*$d_{k+1_{S}}$   \\
%\end{center}

%Como todos los terminos son positivos puedo pasar dividiendo sin afectar la inecuacion.

%\begin{center}
%$d_{k_{S}}$ /($t_{k_{S}}+r_{k_{S}}$)\\
%$\le$\\
%$d_{k+1_{S}}$  /($t_{k+1_{S}} + r_{k+1_{S}}$)  \\
%\end{center}
